理解立体角之前要先理解圆心角。在二维平面上，一个圆的圆弧的微分记为ds(也叫弧微分)，半径为r，则圆心角指的是弧微分与半径的比值:

$$d\theta =\frac{ds}{r}$$

对这个式子做0到2π的积分的话，显然右边的分子变成了圆周长2πr，圆心角为$\frac{2\pi r}{r}=2\pi$。

立体角与圆心角非常类似。立体角的ds的含义是球面上的面积微分(下文用dA表示)，而分母需要变成半径r的平方（1球面度所对应的立体角所对应的球面表面积为$r^2$ ）：

$$d\omega =\frac{dA}{r^2}$$

因为球体表面积等于$4\pi r^2$，所以上面的式子积分到整个球体的话，立体角等于4π。

再换个角度分析。在宏观上看，立体角的定义是：

$$\mathrm{\Omega }=\frac{A}{r^2}sr$$

其中，sr是单位，叫做球面度；A是这个立体角所对应的球表面积，A被叫做spherical cap(球帽?)。

spherical cap的几何表示如下：

(from wiki)

Spherical-Cap相关公式如下：

spherical cap面积等于$2\pi rh$，所以上式可变成：

$$\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi rh}{r^2}sr$$

当球帽等于半个球时，h等于r，可以得到：

$$\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi rr}{r^2}sr=2\pi sr$$

此时得到的是半球的立体角。可以知道整个球的立体角为$4\pi$，和上述结论一致。

立体角(Solid Angle)转换到球形角(Sphere Angle)

Spherical Coordinates坐标系下的单位球，可用2个弧度变量来定位球面上一个点：$\theta \mathrm{和}\varphi$。和三维坐标系的对应关系如下：

$$x=sin\theta cos\varphi$$

$$y=sin\theta sin\varphi$$

$$z=cos\theta$$

简单验证下。把上面3个式子代入单位球公式:$x^2+y^2+z^2=1$，可得：

$$(sin\theta cos\varphi {)}^2+(sin\theta sin\varphi {)}^2+co{s}^2\theta =1$$

$$si{n}^2\theta (co{s}^2\varphi +si{n}^2\varphi )+co{s}^2\theta =1$$

$$si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$$

那么，立体角$\omega$和$\theta 、\varphi$是什么关系呢？先给出答案：

$$d\omega =sin\theta d\theta d\varphi$$

似乎有点莫名其妙，这里我详细解释吧。首先先搞懂$d\theta \mathrm{和}d\varphi$的几何意义。

弧度变量的单位是弧度，百度百科给出的1弧度的定义：

弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。(即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1)。

因此可以知道整个圆的弧度为周长$2\pi r$除以半径$r$等于$2\pi$。

如果已知弧度和半径，就可以求出弧长s，那么上面的$\theta 、\varphi$对应的弧长就是：

$$s_{\theta }=r_{\theta }\theta$$

$$s_{\varphi }=r_{\varphi }\varphi$$

微分形式：

$$d{s}_{\theta }=r_{\theta }d\theta$$

$$d{s}_{\varphi }=r_{\varphi }d\varphi$$

$r_{\theta }、r_{\varphi }$的值并不是相等的，需要接着分析。

在球坐标系下，$\theta 、\varphi$指的是这2个角：

$\theta$是$\overrightarrow{op}$与z轴的夹角；而$\varphi$是$\overrightarrow{op}$在xy平面上的投影向量与y轴的夹角。

从图可知，$r_{\theta }$与圆的半径r相等；而$r_{\varphi }$是小于等于r的(注意看上面的小圆)，且有：

$$sin\theta =\frac{r_{\varphi }}{r_{\theta }}$$

当球是单位球时，球的半径为1，所以有：

$$r_{\theta }=1$$

$$r_{\varphi }=sin\theta r_{\theta }=sin\theta$$

又因为在微观下，立体角对应的曲面(或者叫球帽)面积可以当做一个小矩形看，这个小矩形dA的面积等于2个弧长$d{s}_{\theta }$和$d{s}_{\varphi }$的积：

$$dA=d{s}_{\theta }d{s}_{\varphi }=r_{\theta }{r}_{\varphi }d\theta d\varphi =sin\theta d\theta d\varphi$$

再因为立体角的微分其实也就是这个小矩形的面积，那么就有：

$$d\omega =dA=sin\theta d\theta d\varphi$$

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