球谐函数在图形学里最大的应用就是编码压缩irradiance map。

从radiance map输出irradiance map

radiance map是什么

wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_mapping

其实也就是hdr map、enviroment map。一般是一张全景照片。

可想而知，这张图图片一般可以用cube map的方式存储，即6张方形图，这其实就是skybox的贴图了（天光）。

为什么又叫hdr map，是因为为了得到pbr效果的话，这张radiance map的亮度范围要允许足够大，如果只是存0-255的亮度的话就不是pbr了，hdr map至少是32位float。

球形环境贴图

6张方形图虽然好理解，但是不利于计算。于是就有了球形环境贴图的存储方式，球形环境贴图一般宽度是高度的两倍，往中间切开的话，能得到2张1:1的方形图。

球形环境贴图的坐标理解

因为像素有面积，那么可设：

• 每个pixel左下角的坐标为（x，y），则（x=0,y=0）代表图像左下的第一个像素，（x=w-1，y=h-1）代表右上的最后一个像素
• 用（u，v）表示像素的单位化坐标，那么（ u=(x+0.5)/w，v=(y+0.5)/h ）就表示了像素（x,y）的中心点，（ u=0，v=0 ）代表图像左下的第一个像素的左下角，而（ u=(w-1+1)/w，v=(h-1 + 1)/h ），即（u=1，v=1） 表示右上的最后一个像素的右上角

可见uv的取值范围是[0, 1]。我们此时已得到了像素坐标xy转成uv坐标的方法。

再设球形环境贴图的横坐标轴为θ，纵坐标是φ（0到π），

我们想要的θ、φ取值需要在指定范围，θ是-π到π，φ是0到π，θ相当于环绕y轴一整个圆圈，φ则相当于绕x轴半个圆圈。这样就覆盖了整个单位球的球面（记住这是3D空间的球）。

θ是-π到π的好处是，能使得球形环境贴图是看起来是对称的。左半边的横坐标轴取值范围是-π到0，右半边的范围是0到π，纵轴一样是0到π。

可以用以下公式把uv坐标转成θ、φ球坐标：

float theta = pi*(uv.x*2.0f - 1.0f);
float phi = pi*uv.y;

有了θ、φ球坐标后，还可以转成3D笛卡尔坐标。

\[ x = r * cos\theta sin \phi \]

\[ y = r * sin\theta sin \phi \]

\[ z = r * cos \phi \]

float x = sin(phi)*sin(theta);
float y = cos(phi);
float z = -sin(phi)*cos(theta); // 这里故意对z取反，不影响变换正确性

x、y、z做了一些调换。

此时我们就得到了从像素坐标到3D笛卡尔坐标的转换公式。在CPU计算irradiance map时，可以预先把这个转换关系烘焙到一个w*h大小的、元素为vector3的二维数组里，称之为directionImage。下文会用到这个directionImage。

什么是irradiance map

前面介绍了radiance map是一张场景全景图，那么当场景里有一个对象，要计算场景对该对象的光照影响时，并不是直接在这个对象的fragment shader里去采样radiance map，这是错误的。

首先假设只考虑diffuse光照的情况。那么对象上的每一个着色点，都受到场景四面八方的环境光影响。所以每一个着色点应该是去采样整张环境贴图（假设没有遮挡），而不是环境贴图的一个点。

用代码解释会更好理解，但需要回顾下什么是蒙特卡洛算法。因为采样整张环境贴图就是一次积分过程，于是可以用蒙特卡洛，把积分变成累加再求平均，以下是没有重要性采样的蒙特卡罗算irradiance map的算法：

// m_directionImage包含了所有方向，direction是笛卡尔坐标系朝向，pixelPos是2D像素坐标
data.m_directionImage.parallelForPixels2D([&](const vec3& direction, ivec2 pixelPos)
{
    // basis是以该方向为法线的世界空间正交坐标系
    mat3 basis = makeOrthogonalBasis(direction); 
    vec3 accum = vec3(0.0f);

    // 迭代随机采样1000次，随机一个方向
    for (u32 sampleIt = 0; sampleIt < m_hemisphereSampleCount; ++sampleIt)
    {

        // u等于sampleIt/m_hemisphereSampleCount，v随机
        vec2 sampleUv = sampleHammersley(sampleIt, m_hemisphereSampleCount);

        // uv转成球坐标再转成笛卡尔坐标，注意这是local坐标系的
        vec3 hemisphereDirection = sampleCosineHemisphere(sampleUv);

        // 投影到该世界坐标系
        vec3 sampleDirection = basis * hemisphereDirection;

        // 采样hdr map得到该方向对应的radiance只，加到accum
        accum += (vec3)m_radianceImage.sampleNearest(cartesianToLatLongTexcoord(sampleDirection));
    }

    // 求平均
    accum /= m_hemisphereSampleCount;

    // 输出到irradiance map
    m_irradianceImage.at(pixelPos) = vec4(accum, 1.0f);
});

其中m_irradianceImage是一个和m_radianceImage一样大的数组。

有重要性采样的蒙特卡洛，同样采样数的前提下，精度会更高。因为涉及到复杂的pdf问题，这里不介绍了。

用球谐函数编码irradiance map

上一节的蒙特卡洛方法求出来的irradianceImage虽然非常准确，但是很占内存。这对于实时渲染是很糟糕的，意味着要让gpu缓存一张巨大的irradiance map贴图。

记采样方向为θ、φ，以及f(θ, φ)表示该方向的环境光，因为f本质是一个积分，那么

球谐的基函数

生成步骤