最近在做的东西涉及到四元数的知识，做的过程中发现四元数有一些很容易让人迷惑的点，现写这篇文章备忘。

四元数作为对象的朝向(Orientation)以及需要做朝向之间的插值时

一个3D的对象一般有这些基本几何属性：

1. 空间位置。用一个vector3d即可表示

2. 缩放系数。同样也可以用一个vector3d表示，每个分量代表物体在每一个正交基的缩放系数

3. 朝向。

朝向，这是个看名字很容易知道含义的属性，但是用数学语言描述的话却有很多种方式，不像"位置"、"缩放"那么容易就可以确定用一个vector3d来实现。

基于笛卡尔3D坐标系，普遍在用的朝向表示方法有这么几种：

1. 欧拉角

2. 旋转矩阵

3. 四元数

这3个随便一个都是蛮复杂的东西（不是学3D的应该都不知道这3个吧）。首先比较下3种方法的数据存储效率：

1. 欧拉角，需要3个分量（ 前进方向(heading)、海拔(elevation)、 倾斜(bank) 或 偏航(yaw), 俯仰(pitch)、 翻滚（roll））。

2. 旋转矩阵。4 x 4 = 16个分量（不考虑压缩）

3. 四元数。4个分量。

显然从数据存储上看，欧拉角最有优势，但问题是，欧拉角（or旋转矩阵）是有万向节锁问题的。实际上，只要是用三个旋转角来表示朝向的变化就会出现万向节锁问题，即使存储朝向时用了四元数。这是因为欧拉角和四元数可以等价转换，朝向变换计算时用欧拉角，只是存储的时候转换成四元数，这样四元数并没有什么卵用。

考虑这一点，四元数直接表示朝向以及朝向之间的插值的优势就凸现出来了，比欧拉角多一个分量，但能处理好万向节锁问题。为什么会这样呢？这其中的神奇之处就在于四元数的4个分量的含义和欧拉角的三个分量的含义差别很大，我举例说明下：

欧拉角(pitch yaw roll) <—> 四元数(第一个值是虚部，后面三个是实部)

0.0, 0.0, 0.0 <—> 1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000

90.0, 0.0, 0.0 <—> 0.707107, 0.707107, 0.000000, 0.000000

0.0, 90.0, 0.0 <—> 0.707107, 0.000000, 0.707107, 0.000000

0.0, 0.0, 90.0 <—> 0.707107, 0.000000, 0.000000, 0.707107

可以看到，用四元数表示的朝向，只看数值是无法直观知道这个四元数是代表什么朝向的。所以不能以轴-旋转角度的概念去看待朝向四元数，完全不是同一回事。

总结一下：

明确你的程序里的欧拉角和四元数的对应关系后，做一个欧拉角到四元数的转换接口。初始化对象朝向时，先以欧拉角的思考角度确定欧拉角的三个值，然后用这个接口把欧拉角转成四元数，就可以用四元数来做朝向数据的存储（多消耗一个float）。

使用四元数朝向数据时，不能转换回欧拉角来使用（如果你这样就等同于只在存储时应用四元数），而是应该继续以四元数的思考角度来做各种操作，如做朝向的插值。（四元数SLERP）。

四元数作为旋转变换参数时

这种情景下，朝向是否用四元数存储不再重要。只是在做旋转这个事情时，使用了四元数。这个四元数也被称为旋转四元数。旋转四元数的构造需要2个东西：笛卡尔坐标系下的旋转轴\( \hat { \mathbf v } \)（Vector3d）和绕着这个旋转轴的旋转角度\( \theta \)(Radian)：

\[ q = [cos\frac {1}{2}\theta ,sin\frac {1}{2}\theta \mathbf { \hat { \mathbf v } }] \]

构造了旋转四元数后，剩下的就是怎么使用的问题。假设现在要对一个3D坐标点\( \vec p \)做\( \mathbf q \)旋转，那么变换公式如下：

\[ \mathbf p' = \mathbf q \mathbf p \mathbf q^{-1} \]

其中的\( \mathbf p \)四元数的虚部为0，实部为\( \vec p \)向量。

(详细的公式细节可以查阅Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》)

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