矩阵的基本性质

我对矩阵的定义：一个含有x个元素的数组(x>=1)，以n个数为一段，将把这个数组按顺序分成m段，并按顺序排成m行，就构成了一个矩阵。数组和分段是构成一个矩阵的充分必要条件。

这个定义是从程序实现角度考虑的。一个矩阵可以用二维数组Array[m][n]来存放，也可以用一维数组Array[m*n]来存放，在不考虑实现语言之前，我更倾向于使用一维数组。

矩阵的定义虽然不复杂，但是聪明的数学家对矩阵进行了各种研究，导致产生了非常多的概念、术语、定理、推论：

1. 当m == n时，矩阵可以被称为n阶矩阵，或n阶方阵
2. 矩阵A的m、n和矩阵B的m、n相等时，称A和B为同阶矩阵或同型矩阵
3. 大写字母O代表元素全为0的矩阵
4. 矩阵的加法运算满足以下运算律:
   1. 交换律 A + B = B + A
   2. 结合律 ( A + B ) + C = A + ( B + C )
   3. A + O = O + A
   4. A + (-A) = (-A) + A = O

5. 矩阵的数乘运算满足以下运算律:

   1. k ( A + B ) = kA + kB
   2. ( k + t ) A = kA + tA
   3. k ( tA ) = ( kt ) A
   4. 1 * A = A

6. 矩阵的加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算

7. 矩阵之间允许乘法运算：C = AB。但有一个前提： 左矩阵A的列数必须等于右矩阵B的行数

8. 做矩阵相乘运算要注意的一些特性：

   1. AB 有意义时， BA 不一定有意义
   2. AB 和 BA 都有意义时，并不意味着 AB = BA（不满足交换律），但存在使得此等式成立的2个矩阵
   3. 不满足消除率。两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即 AB = O 成立时，并不能推出 A = O 或 B = O
   4. 满足结合律：
      1. ( AB ) C = A ( BC )
      2. k ( AB ) = ( kA ) B = A ( kB )
      3. A ( B + C ) = AB + AC
      4. ( B + C ) A = BA + CA

9. 矩阵可以做幂运算：

   1. \( \mathbf { A^{k}A^{t} = A^{k+t} } \)
   2. \( \mathbf { (A^{k})^{t} = A^{kt} } \)
   3. 若 AB = BA，则 \( \mathbf { (AB)^{k} = A^{k}B^{k} } \)
   4. 注意，即使 \( \mathbf { A^{k} = O } \)，也并不意味着\( \mathbf { A = O } \)

矩阵的转置

将\( m\times n \)矩阵 A = \( a_{ij} \)的行和列互换，得到的\( n\times m \)矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，简称A的转置，记为\( A^{T} \)。

矩阵的转置有以下性质：

1. \( \mathbf { (A^{T})^{T} = A } \)
2. \( \mathbf { (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} } \)
3. \( \mathbf { (kA)^{T}=kA^{T} } \)
4. \( \mathbf { (AB)^{T}=B^{T}A^{T} } \)

方阵的行列式

定义行列式之前，先定义2个概念：排列和逆序数

排列

由n个不同的数\(1,2,\cdots,n\)组成的一个有序数组\( i_{1}i_{2}\cdots i_{n} \)称为一个n级排列,简称为排列

由数\(1,2,\cdots,n\)构成的不同的n级排列共有\( n! \)个。

例:

• 1234、3421是4级排列
• 25314是5级排列

逆序数

在一个n级排列\( i_{1}i_{2}\cdots i_{n} \)中，若数\( i_{t}>i_{s} \)，则称数\( i_{t} \) 与 \( i_{s} \)构成一个逆序，一个n级排序中逆数的总数称为该排列的逆序数，记为 \( \gamma (i_{1}i_{2}\cdots i_{n}) \)

例:

5级排列25314的逆序数:

\( \gamma (25314) \) = 0 + 0 + 1 + 3 + 1 = 5

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

相关定理：

• n个不同的数\(1,2,\cdots,n\)的n！个n级排列中，奇偶排列各占一半

交换一个排列中某2个不同的元素，称为一次对换。

例：

\( 31542\overset{(5,2)}{\longrightarrow}31245 \)

相关定理：

• 任意一个排列经过一次对换后，奇偶性改变

行列式

定义：由 \( n^{2} \)个元素\( a_{ij} \) 排成n行n列组成的式子：

\( \left| \begin{matrix} a_{11}\ a_{12}\ \ldots\ a_{1n}\\ a_{21}\ a_{22}\ \ldots\ a_{2n}\\ \vdots\ \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \\ a_{n1}\ a_{n2}\ \ldots\ a_{nn}\\ \end{matrix} \right| \) \( = \sum _{ j_{1}j_{2}\ldots j_{n} }(-1)^{\gamma (j_{1}j_{2}\ldots j_{n} ) }a_{1 j_{1}}a_{2 j_{2} }\ldots a_{n j_{n} } \)

它的计算结果被称为行列式(Determinant)。

注意，行列式是一个数，而不是一个矩阵。 这个式子也被称为行列式的展开式。

行列式的性质：

1. \( D^{T} = D \)
2. 交换行列式的两行(列)，行列式变号
3. 用数k乘行列式的某一行(列)，等于用数k乘此行列式
4. 若行列式有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零
5. 若行列式有两行(列)的对应元素成比例，则行列式等于零
6. 若行列式的某一行(列)各元素都是两数之和，即 \( a_{ij} = b_{ij} + c_{ij} \)，则 \( D_{a} = D_{b} + D_{c} \)
7. 将行列式某一行(列)所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变

行列式按某一行(列)展开:

代数余子式的定义:

在n阶行列式 D = det( \( a_{ij} \) )中，划去元素\( a_{ij} \)所在的第i行和第j列后，余下的元素按原来的相对位置构成的n-1阶行列式，称为D中元素\( a_{ij} \)的余子式，记为\( M_{ij} \)。

再记\( A_{ij} =(-1)^{i+j}M_{ij} \)，称\( A_{ij} \)为元素\( a_{ij} \)的代数余子式。

引理:

若n阶行列式 D = det( \( a_{ij} \) )中，第i行除\( a_{ij} \)外的其他元素都为零，则该行列式等于\( a_{ij} \)与它的代数余子式的乘积，即：

\[ D = det( a_{ij} ) = a_{ij}A_{ij} \]

行列式的展开:

n阶行列式 D = det( \( a_{ij} \) )等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\[ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \]

\[ D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \]

行列式与转置矩阵之间的一些公式：

1. \( \mathbf { |A^{T}| = |A| } \)
2. \( \mathbf { |kA| = k^{n}|A| } \)
3. \( \mathbf { |AB| = |A||B| } \)
4. \( \mathbf { |AB| = |BA| } \)
5. \( \mathbf { |A^{n}| = |A|^{n} } \)

线性方程组与行列式

含有n个未知量、n个方程的线性方程组

\[ a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \] \[ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \] \[ \cdots\cdots \] \[ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = b_{n} \]

系数\( a_{ij} \)构成的行列式称为该方程组的系数行列式D

克拉默(Cramer)法则：若系数行列式 \( D\neq 0 \)，则方程组有唯一解，其解为： \[ x_{i} = \dfrac {D_{j}} {D} \]

\( D_{j} \)是将系数行列式D中第j列的元素\( a_{1j},a_{2j},\cdots a_{nj} \)对应地换成方程组右端的常数项\( b_{1j},b_{2j},\cdots b_{nj} \)，而其余各列保持不变得到的行列式。

当\( b_{i} \)=0时，上面的线性方程组为：

\[ a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = 0 \] \[ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0 \] \[ \cdots\cdots \] \[ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = 0 \]

称为齐次线性方程组。齐次线性方程组必然有零解( \( x_{i} = 0 \) ）。

定理：若齐次线性方程组的系数行列式 \( D\neq 0 \)，则只有零解； 若有非零解，则\( D = 0 \)。

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