行列式的意义
貌似一般的线性代数教科书并没有告诉读者行列式的实际意义，只是教会了读者行列式的定义和计算方法。（起码我所阅读的线性代数课本没有提及）
那么在这里我简单地介绍一下。
一阶行列式
要说行列式的意义，得先从行列式的"|"符号谈起。下面是一阶方阵的行列式：
\[ |x| = x \]
是不是想到什么？一阶方阵，其实就是一个数，且它的行列式等于这个数。且，一阶方列式的写法，恰好就是高中数学里的绝对值写法！
想一下绝对值的几何意义：指明了一个实数（这里不提虚数）距离数轴原点的大小。
二阶行列式
现在看一下二阶行列式：
\( \left| \begin{matrix} x_{0}\ x_{1}\\ y_{0}\ y_{1}\\ \end{matrix} \right| \)
再变成用向量来表示：
\( |\ \alpha\ \beta\ | \)
于是，二阶行列式等于2个向量的"绝对值"。那么，对于2个向量，这个绝对值是什么？
首先，搬出向量的夹角公式：
\[ cos\theta = \dfrac {\alpha \cdot\ \beta } {|\alpha |\times|\beta |} \]
从上面的式子可以推出：
\[ sin\theta = \sqrt{1 - \dfrac {(\alpha \cdot\ \beta )^{2}} {|\alpha |^{2}\times |\beta |^{2}} } \]
\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ |\alpha |^{2} \times |\beta |^{2} - (\alpha \cdot\ \beta )^{2} } \]
\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})\times (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) - (x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1})^{2} } \]
\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ x_{0}^{2}x_{1}^{2} + x_{0}^{2}y_{1}^{2} + y_{0}^{2}x_{1}^{2} + y_{0}^{2}y_{1}^{2} - x_{0}^{2}x_{1}^{2} - x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} - y_{0}^{2}y_{1}^{2} } \]
\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ x_{0}^{2}y_{1}^{2} + x_{1}^{2}y_{0}^{2} - 2x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} } \]
\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ (x_{0}y_{1} - x_{1}y_{0})^{2} } \]
\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = x_{0}y_{1} - x_{1}y_{0} \]
\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \left| \begin{matrix} x_{0}\ x_{1}\\ y_{0}\ y_{1}\\ \end{matrix} \right| = |\ \alpha\ \beta\ | \]
注意到了吗，这个式子的左边，赫然是平行四边形的面积公式！
所以，二阶行列式的几何意义就是2个向量组成的平行四边形的面积。
三阶行列式
通过上面的分析，可以知道行列式在几何数学中是有某种意义的，那么三阶行列式又是什么东西呢？
三阶行列式：
\( \left| \begin{matrix} x_{0}\ x_{1}\ x_{2}\\ y_{0}\ y_{1}\ y_{2}\\ z_{0}\ z_{1}\ z_{2}\\ \end{matrix} \right| \)
再变成用向量来表示：
\( |\ \alpha\ \beta\ \gamma\ | \)
3个3维向量，想到了什么呢？没错，就是3维空间中的3个向量！
设 \( \alpha = (1,0,0)^{T} \) \( \beta = (0,1,0)^{T} \) \( \gamma = (0,0,1)^{T} \) ， 即相当于3维正交坐标系的3条轴的单位向量。这样的3个单位向量组成的行列式，值等于1。
另外，巧合的是，这3个单位向量组成的正方体，体积也为1。实际上，3阶行列式确实等价于平行六面体的体积。
证明过程（暂无）。
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