《Game Engine Architecture》这本书里最让我欣喜的就是动画相关的章节了，非常详细，比中文搜索引擎能搜到的资料都要系统、全面。据说作者以前就是做动画的。其他章节相对的只是抛砖引玉，例如阴影，只写了几页。

通过这本书并结合github上的ozz-animation源码，基本搞懂了骨骼蒙皮动画的核心原理。下面将简单做一份笔记。

基础概念

3D美术人员制作一个带骨骼动画的模型时，主要要分2个步骤，一是建模（可能包括画贴图），二是给模型加上骨骼并制作骨骼动画。

给一个模型加上骨骼前，一般要求这个模型摆成T字型，才方便动作师加骨骼和做动作。此时，加骨骼操作被称为骨骼绑定(Skeleton Binding)；或者从模型角度讲叫做，模型蒙皮(Model Skinning)到骨骼。

这个初始骨骼摆位，就是绑定姿势(Bind Poses)。但要注意，Bind Poses本身只记录了骨骼各个关节的姿势信息，并不包括蒙皮信息。蒙皮信息是存储于模型数据里的，因为所谓蒙皮，即是让每一个顶点绑定至1-n个关节，这n个关节运动的时候，会影响到该顶点的当前位置。

局部关节姿势 Local Joint Poses

关节姿势分为局部关节姿势和全局关节姿势。先从局部关节姿势说起。

局部关节姿势是相对直属父关节而言的，可以用一个strcut表示:

struct JointPose {
    Quaternion rot; // R 关节旋转信息
    Vector3 trans;  // T 关节位移信息
    Vector3 scale;  // S 关节缩放信息
}

一个关节只需要存一组RTS信息。这3个信息可分别转换成3个矩阵，并且可以合并成一个矩阵。合并后的矩阵就被称为关节仿射变换矩阵$P_j$：

$$P_j=\left[\begin{array}{cc}{S}_j{R}_j& 0\\ T_j& 1\end{array}\right]$$

（注意，JointPose存的不是矩阵，而是RTS，即1个四元数和2个向量。）

一个骨骼，就是所有关节仿射变换的集合：

$$P^{skel}=P_j{|}_{j=0}^{N-1}$$

即：

struct SkeletonPose {
    size_t jointCount; // 关节数量
    JointPose* localPoses; // 多个局部关节姿势
}

把$P_j$应用到关节j的局部坐标系的某个点或向量$v_j$，就能把它变换到父关节p的坐标系：

$$v_p=v_j{P}_j$$

例如假设有$v_j=(0,0,0)$，表示是关节j的局部坐标系的原点，$P_j$是一个Translate(100, 0, 0)，那么$P_j{v}_j$ 的结果就是(100, 0, 0)，即$v_p$表示父关节p坐标系下的坐标(100,0,0)。

可以定义子关节j到父关节的变换为$(P_{C\to P})j$。这样的形式不太好看，可以换一种，先定义一个函数p(j)，p(j)返回关节j的父关节索引。那么$(P_{C\to P})j$ 可以写成 $P_{j\to p(j)}$。

全局关节姿势 Global Joint Poses

局部关节姿势是一种原始信息，实际上在渲染蒙皮动画前，需要做预处理，把局部关节姿势转换成全局关节姿势。

全局关节姿势变换，指的是把关节姿势，用模型空间坐标系表示。首先定义$p(0)\equiv M$，即根关节的父节点为模型空间。

每个关节j的全局关节姿势变换P，可以用刚才的 $P_{j\to p(j)}$来表示：

$$P_{2\to M}=P_{2\to 1}{P}_{1\to 0}{P}_{0\to M}$$

$$P_{j\to M}=\prod _{i=j}^0{P}_{i\to p(i)}$$

对每个关节都做一遍这个公式，就能得到一个全局关节姿势数组。然后就可以写入SkeletonPose：

struct SkeletonPose {
    size_t jointCount; // 关节数量
    JointPose* localPoses; // 多个局部关节姿势 JointPose
    Matrix44* globalPoses; // 多个全局关节姿势
}

全局关节姿势的存储，并不只限定于用RTS，而是既可以用RTS也可以用矩阵。因为实时渲染里矩阵更通用快速，所以得存成矩阵。

绑定姿势矩阵、绑定姿势逆矩阵 Bind Poses Matrix 、Inversed Bind Poses Matrix

定义矩阵 $B_{j\to M}$为关节j在模型空间的全局绑定姿势矩阵。根据上文， $\mathbf{v}{B}_{j\to M}$ 可以把$\mathbf{v}$从关节j的局部空间变换到模型空间。

反过来说，要把一个点或向量（想象下模型的任意一个顶点），变换到关节j的空间，就是：

$${\mathbf{v}}^{\prime }(B_{j\to M}{)}^{-1}$$

$(B_{j\to M}{)}^{-1}$就是绑定姿势逆矩阵。也可写成：

$$(B_{j\to M}{)}^{-1}=B_{M\to j}$$

再定义${\mathbf{v}}_M^B$为模型任意顶点v在绑定姿势的模型空间坐标， 而 ${\mathbf{v}}_M^C$ 为在当前姿势的模型空间坐标。如果要求${\mathbf{v}}_M^B$在关节j的局部空间坐标$v_j$，则公式为：

$${\mathbf{v}}_j={\mathbf{v}}_M^B{B}_{M\to j}={\mathbf{v}}_M^B(B_{j\to M}{)}^{-1}$$

然后再乘以当前姿势的姿势矩阵C（不是绑定姿势！），得到当前姿势的模型空间坐标 ${\mathbf{v}}_M^C$：

$$v_M^C={\mathbf{v}}_j{C}_{j\to M}$$

蒙皮矩阵 Skinning Matrix

$$v_M^C={\mathbf{v}}_j{C}_{j\to M}={\mathbf{v}}_M^B(B_{j\to M}{)}^{-1}{C}_{j\to M}={\mathbf{v}}_M^B{K}_j$$

$$K_j=(B_{j\to M}{)}^{-1}{C}_{j\to M}$$

$K_j$ 就是关节j的蒙皮矩阵了。再解释下这个矩阵干了什么：把绑定姿势模型空间下的顶点，先转换到绑定姿势关节空间，然后再转换到当前姿势模型空间。

ozz-animation中的算K矩阵的代码片段：

for (size_t j = 0; j < models.Count(); ++j) {
    skinning_matrices[j] = models[j] * mesh.inverse_bind_poses[j];
}

models[j]就是当前姿势当前时刻第j个关节的$C_{j\to M}$。

mesh.inverse_bind_poses[j]就是$(B_{j\to M}{)}^{-1}$，可见，这个逆矩阵是预先算好的，比运行时再算逆矩阵要快得多，一般的蒙皮动画引擎都是这样做。

注意这里的乘法顺序和公式相反（公式是右乘，一般OGL程序中是用左乘）。