平移矩阵 Translate Matrix

$$T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

缩放矩阵 Scale Matrix

$$S=\left[\begin{array}{cccc}x& 0& 0& 0\\ 0& y& 0& 0\\ 0& 0& z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

旋转矩阵 Rotate Matrix

绕(1,0,0)旋转$\theta$角度

$$R_{(1,0,0)}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & sin\theta & 0\\ 0& -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

绕(0,1,0)旋转$\theta$角度

$$R_{(0,1,0)}=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& -sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

绕(0,0,1)旋转$\theta$角度

$$R_{(0,0,1)}=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & sin\theta & 0& 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

绕任意轴旋转$\theta$角度

设旋转轴为$\overrightarrow{n}$，这是一个单位化的方向向量。设被旋转的向量为$\overrightarrow{v}$，被旋转后是${\overrightarrow{v}}^{\prime }$。

为了求出${\overrightarrow{v}}^{\prime }$，需要迂回地处理：

• 将$\overrightarrow{v}$ 分解为 $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_{\perp }+{\overrightarrow{v}}_{\parallel }$ ，${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$指的是$\overrightarrow{v}$与$\overrightarrow{n}$平行的部分，${\overrightarrow{v}}_{\perp }$ 指的是$\overrightarrow{v}$ 与$\overrightarrow{n}$垂直的部分。

• 分解为两部分后，可以分别对这两个部分做旋转，然后再合并，所以有： ${\overrightarrow{v}}^{\prime }={\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }+{\overrightarrow{v}}_{\parallel }^{\prime }$

• 让 ${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$ 绕旋转轴$\overrightarrow{n}$旋转$\theta$角度，它依然保持不变，因为它和$\overrightarrow{n}$是同方向的向量，所以有 ${\overrightarrow{v}}_{\parallel }={\overrightarrow{v}}_{\parallel }^{\prime }$

• 根据上一点，可以得到： ${\overrightarrow{v}}^{\prime }={\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }+{\overrightarrow{v}}_{\parallel }$。因此，问题简化为求${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }$和${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$

• 分析${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$，可以发现它相当于是$\overrightarrow{v}$在$\overrightarrow{n}$上的投影，根据向量的点积公式：

$$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|cos\alpha$$

代入$\overrightarrow{v}$、$\overrightarrow{n}$后，得到：$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{n}|cos\alpha =|\overrightarrow{v}|cos\alpha =|{\overrightarrow{v}}_{\parallel }|$，即算出了${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$的长度，又因为${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$和$\overrightarrow{n}$方向一致、$\overrightarrow{n}$长度为1，所以有:

$${\overrightarrow{v}}_{\parallel }=(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$$

上一步已经解决了${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$，剩下的就是求${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }$。求${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }$之前需要先求出${\overrightarrow{v}}_{\perp }$，而显然${\overrightarrow{v}}_{\perp }=v-{\overrightarrow{v}}_{\parallel }$

接着，需要计算一个新的向量$\overrightarrow{w}$，$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{v}}_{\perp }$ （注意叉乘的顺序不能错），所以$\overrightarrow{w}$是一个垂直于$\overrightarrow{n}$、${\overrightarrow{v}}_{\perp }$所构成平面的向量。

把${\overrightarrow{v}}_{\perp }$、$\overrightarrow{w}$ 分别当做是垂直于$\overrightarrow{n}$的2D平面的x、y轴（因为已经有正交关系），那么${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }$的含义就是指${\overrightarrow{v}}_{\perp }$在这个2D坐标系下绕原点旋转$\theta$度（Rotation of axes）。从而得到等式：

$${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }=cos\theta {\overrightarrow{v}}_{\perp }+sin\theta \overrightarrow{w}$$

可以这么理解：首先因为 $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{v}}_{\perp }$，可知 $\overrightarrow{w}$和${\overrightarrow{v}}_{\perp }$等长，假设长度为r，那么可用极坐标表示${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }=(r,\theta )$，极坐标用笛卡尔坐标表示就是示${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }=(rcos\theta ,rsin\theta )=rcos\theta \overrightarrow{x}+rsin\theta \overrightarrow{y}，\overrightarrow{x}=(1,0)，\overrightarrow{y}=(0,1)$，换成自定义的正交坐标系后就是$cos\theta {\overrightarrow{v}}_{\perp }+sin\theta \overrightarrow{w}$。

好了，所有变量都得到了，总结下最终的公式：

${\overrightarrow{v}}_{\parallel }=(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

${\overrightarrow{v}}_{\perp }=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_{\parallel }=\overrightarrow{v}-(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{v}}_{\perp }$

$=\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_{\parallel })$

$=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}-\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{v}}_{\parallel }$

$=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}$

${\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }=cos\theta {\overrightarrow{v}}_{\perp }+sin\theta \overrightarrow{w}$

$=cos\theta (v-(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n})+sin\theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})$

${\overrightarrow{v}}^{\prime }={\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }+{\overrightarrow{v}}_{\parallel }^{\prime }={\overrightarrow{v}}_{\perp }^{\prime }+{\overrightarrow{v}}_{\parallel }$

$=cos\theta (\overrightarrow{v}-(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n})+sin\theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

$=cos\theta \overrightarrow{v}+(1-cos\theta )(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n})+sin\theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})$

加粗并居中：

$${\overrightarrow{v}}^{\prime }=cos\theta \overrightarrow{v}+(1-cos\theta )(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n})+sin\theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})$$

这就是绕任意轴的旋转公式了。 可以在这个wiki看到这条公式，一模一样。

接下来是把这个公式转换成矩阵的形式。方法是，把$v_x=(1,0,0)$、$v_y=(0,1,0)$、$v_z=(0,0,1)$，分别代入上面的公式，分别得到：

$$v_x^{\prime }={\left[\begin{array}{c}{n}_x^2(1-cos\theta )+cos\theta \\ n_x{n}_y(1-cos\theta )+n_{z}sin\theta \\ n_x{n}_z(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta \end{array}\right]}^T$$

$$v_y^{\prime }={\left[\begin{array}{c}{n}_x{n}_y(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta \\ n_y^2(1-cos\theta )+cos\theta \\ n_y{n}_z(1-cos\theta )+n_{x}sin\theta \end{array}\right]}^T$$

$$v_z^{\prime }={\left[\begin{array}{c}{n}_x{n}_z(1-cos\theta )+n_{y}sin\theta \\ n_y{n}_z(1-cos\theta )-n_{x}sin\theta \\ n_z^2(1-cos\theta )+cos\theta \end{array}\right]}^T$$

最终的旋转矩阵为:

$$R(\overrightarrow{n},\theta )=\left[\begin{array}{cccc}{n}_x^2(1-cos\theta )+cos\theta & n_x{n}_y(1-cos\theta )+n_{z}sin\theta & n_x{n}_z(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta & 0\\ n_x{n}_y(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta & n_y^2(1-cos\theta )+cos\theta & n_y{n}_z(1-cos\theta )+n_{x}sin\theta & 0\\ n_x{n}_z(1-cos\theta )+n_{y}sin\theta & n_y{n}_z(1-cos\theta )-n_{x}sin\theta & n_z^2(1-cos\theta )+cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

资料

Rodrigues' rotation formula

Rotation of axes

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