逆矩阵是一个很基本的概念，这里就不说定义了。本文只介绍求解方法。

初等变换求逆法——高斯消元法(Gauss-Jordan elimination)

先在要求解逆矩阵的A的右边增加一个临时的单位矩阵（阶数显然和A一致）。那么A就变成了一个n行、2n列的矩阵A'。 然后对A'进行高斯消元，也就是通过row operation不断对A'做变换，直到A'的左边的A变成单位矩阵时，A'的右边部分就是A的逆矩阵了。 要注意的是，A不一定有逆矩阵，当A没有逆矩阵时，这个高斯消元过程中肯定会出现A的某row全是0的情况。

举例说明：

设A：

\[ A = \left[ \begin{matrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8\\ \end{matrix} \right] \]

扩展A，在A的右边增加(Adjoin)一个单位矩阵：

\[ A' = \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 2&5&3&0&1&0\\ 1&0&8&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

开始变换：

\( \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 2&5&3&0&1&0\\ 1&0&8&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \xrightarrow{ R_{2}=R_{2}-2R_{1}, R_{3}=R_{3}-R_{1} } \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 2-2*1&5-2*2&3-2*3&0-2*1&1-2*0&0-2*0\\ 1-1&0-2&8-3&0-1&0-0&1-0\\ \end{matrix} \right]\)

\( \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 0&1&-3&-2&1&0\\ 0&-2&5&-1&0&1\\ \end{matrix} \right] \xrightarrow{ R_{3}=R_{3}+2R_{2} } \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 0&1&-3&-2&1&0\\ 0+2*0&-2+2*1&5+2*(-3)&-1+2*(-2)&0+2*1&1+2*0\\ \end{matrix} \right]\)

\( \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 0&1&-3&-2&1&0\\ 0&-0&-1&-5&2&1\\ \end{matrix} \right] \xrightarrow{ R_{3}=-R_{3} } \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 0&1&-3&-2&1&0\\ 0&0&1&5&-2&-1\\ \end{matrix} \right]\)

\( \left[ \begin{matrix} 1&2&3&1&0&0\\ 0&1&-3&-2&1&0\\ 0&0&1&5&-2&-1\\ \end{matrix} \right] \xrightarrow{ R_{1}=R_{1}-3R_{3},R_{2}=R_{2}+3R_{3} } \left[ \begin{matrix} 1&2&0&-14&6&3\\ 0&1&0&13&-5&-3\\ 0&0&1&5&-2&-1\\ \end{matrix} \right]\)

\( \left[ \begin{matrix} 1&2&0&-14&6&3\\ 0&1&0&13&-5&-3\\ 0&0&1&5&-2&-1\\ \end{matrix} \right] \xrightarrow{ R_{1}=R_{1}-2R_{2} } \left[ \begin{matrix} 1&0&0&-40&16&9\\ 0&1&0&13&-5&-3\\ 0&0&1&5&-2&-1\\ \end{matrix} \right]\)

所以A的逆矩阵为：

\[ A^{-1} = \left[ \begin{matrix} -40&16&9\\ 13&-5&-3\\ 5&-2&-1\\ \end{matrix} \right] \]

伴随矩阵求逆法

先回顾下2个定理：

1.n阶行列式\(D=det(a_{ij}) \)等于它的任一行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和，即：

\[ D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots + a_{in}A_{in} , i = 1,2,\cdots ,n \] \[ D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots + a_{nj}A_{nj} , j = 1,2,\cdots ,n \]

2.n阶行列式\(D=det(a_{ij}) \)的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：

\[ D = a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+\cdots + a_{in}A_{sn} , i \neq s \] \[ D = a_{1j}A_{1t}+a_{2j}A_{2t}+\cdots + a_{nj}A_{nt} , j \neq t \]

以及伴随矩阵的定义：

设\(A=(a_{ij})_{nXm}\)，\(A_{ij}\)是A的行列式\( |A|=det(a_{ij}) \)的元素\( a_{ij} \)的代数余子式\( (i,j=1,2,\cdots,n)\), 则有：

\[ (adj(A)) ^{T} = \left[ \begin{matrix} A_{11}&A_{12}&\ldots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&\ldots&A_{2n}\\ \vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ \\ A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nn}\\ \end{matrix} \right] \]

\[ adj(A) = \left[ \begin{matrix} A_{11}&A_{21}&\ldots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\ldots &A_{n2}\\ \vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ \\ A_{1n}&A_{2n}&\ldots &A_{nn}\\ \end{matrix} \right] \]

adj(A)称为伴随矩阵。

利用上面2条定理，计算\(Aadj(A)\):

\[ Aadj(A) = \left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ \\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11}&A_{21}&\ldots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\ldots &A_{n2}\\ \vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ \\ A_{1n}&A_{2n}&\ldots &A_{nn}\\ \end{matrix} \right]\]

\[ = \left[ \begin{matrix} |A|&0&\ldots&0\\ 0&|A|&\ldots&0\\ \vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ \\ 0&0&\ldots &|A|\\ \end{matrix} \right] = |A|E \]

即: \[ Aadj(A) = |A|E \]

从而有：

\[ A^{-1} = \frac {1}{|A|}adj(A) \]

因为用这条公式求逆矩阵要计算adj(A)和|A|，这个计算太慢了。所以可以认为这个解法对阶数<=3的矩阵才实用。

现在用伴随矩阵求逆法来求第一节中的A的逆矩阵：

\[ A = \left[ \begin{matrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8\\ \end{matrix} \right] \]

\( A_{11} = (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix} 5\ 3\\ 0\ 8\\ \end{matrix} \right| = 40 \)

\( A_{12} = (-1)^{1+2} \left| \begin{matrix} 2\ 3\\ 1\ 8\\ \end{matrix} \right| = -13\)

\( A_{13} = (-1)^{1+3} \left| \begin{matrix} 2\ 5\\ 1\ 0\\ \end{matrix} \right| = -5 \)

\( A_{21} = (-1)^{2+1} \left| \begin{matrix} 2\ 3\\ 0\ 8\\ \end{matrix} \right| = -16 \)

\( A_{22} = (-1)^{2+2} \left| \begin{matrix} 1\ 3\\ 1\ 8\\ \end{matrix} \right| = 5 \)

\( A_{23} = (-1)^{2+3} \left| \begin{matrix} 1\ 2\\ 1\ 0\\ \end{matrix} \right| = 2 \)

\( A_{31} = (-1)^{3+1} \left| \begin{matrix} 2\ 3\\ 5\ 3\\ \end{matrix} \right| = -9 \)

\( A_{32} = (-1)^{3+2} \left| \begin{matrix} 1\ 3\\ 2\ 3\\ \end{matrix} \right| = 3 \)

\( A_{33} = (-1)^{3+3} \left| \begin{matrix} 1\ 2\\ 2\ 5\\ \end{matrix} \right| = 1 \)

于是:

\[ adj(A) = \left[ \begin{matrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33}\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 40&-16&-9\\ -13&5&3\\ -5&2&1\\ \end{matrix} \right] \]

\[ |A| = a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33} = 1*(-9) + 0*3 + 8*1 = -1 \]

\[ A^{-1} = \frac {1}{|A|}adj(A) = \left[ \begin{matrix} -40&16&9\\ 13&-5&-3\\ 5&-2&-1\\ \end{matrix} \right] \]

参考资料

Inverse of a matrix by Gauss-Jordan elimination Determinant and Inverse of Matrices

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