本文主要写的是公式层面的推导，关于傅里叶变换的应用，请到知乎搜索'傅里叶'，能找到很多不错的文章。

本文主要参考了斯坦福大学Brad Osgood的公开课:

http://open.163.com/special/opencourse/fouriertransforms.html

youtube的比较高清:

https://www.youtube.com/watch?v=gZNm7L96pfY

傅里叶级数 fourier series

基础

翻译一下wiki的fourier series：

在数学中，傅里叶级数是一个可以把(有波形的)函数表示成多个简单的sin函数的叠加的方法。更形式地说，傅里叶级数能够把任意周期函数(信号)分解成有限(或无限)个简单的震荡函数的叠加，这些震荡函数可以是正弦函数、余弦函数或复指数。

傅里叶级数的公式定义（不要问为什么长这样，这只是一个定义，不是推出来的公式)：

\[ S = \sum_{k=1}^{n}A_{k}\sin (2\pi kt+\phi _{k}) \]

(如果不清楚什么是级数，请戳 https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)

使用三角函数的一道公式:

\[ \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]

代入到傅里叶级数，得：

\[ \sin (2\pi kt + \phi _{k}) =\sin 2\pi kt \cos \phi _{k} + \cos 2\pi kt \sin \phi _{k} \]

\[ S = \sum_{k=1}^{n}A_{k}\sin 2\pi kt \cos \phi _{k} + \sum_{k=1}^{n}A_{k}\cos 2\pi kt \sin \phi _{k} \]

再设:

\[ a_{k} = A_{k}\cos \phi _{k} \]

\[ b_{k} = A_{k}\sin \phi _{k} \]

则上面的傅里叶级数被简化成:

\[ S = \sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin 2\pi kt + \sum_{k=1}^{n}b_{k}\cos 2\pi kt \] \[ S(x) = \sum_{k=1}^{n}(a_{k}\sin 2\pi kt + b_{k}\cos 2\pi kt) \]

这是傅里叶级数的常用形式1。

常用形式2是这样的：

\[ S = \frac {A_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_{k}\sin 2\pi kt + b_{k}\cos 2\pi kt) \]

前面多出来的那个东西，先不管它。

常用形式3，是最重要的：用复指数来表示傅里叶级数。

推导过程，要用到欧拉公式：

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x\]

（关于欧拉公式的推导，可以看我的另一篇文章:复数和三角函数 )

把 \( x = 2\pi kt \)代入到欧拉公式，得到:

\[ e^{i2\pi kt} = \cos 2\pi kt + i\sin 2\pi kt\]

再搬出另外两条欧拉公式的推论:

\[ \cos x = \frac {e^{ix} + e^{-ix}}{2} \]

\[ \sin x = \frac {e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \]

也把 \( x = 2\pi kt \)代入，得到:

\[ \cos 2\pi kt = \frac {e^{i2\pi kt} + e^{-i2\pi kt}}{2} \]

\[ \sin 2\pi kt = \frac {e^{i2\pi kt} - e^{-i2\pi kt}}{2i} \]

这时候，教授突然说，傅里叶级数可以写成:

\[ f(t) = \sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} \]

这个式子确实是常用形式3——复指数表示的傅里叶级数。 但是，这究竟是怎么得到的呢。

请耐心看下文。

复指数形式的傅里叶级数的\(c_{k}\)的性质

对于傅里叶级数f(t)，假设它是一个"实信号(real signal)"（一般来说，傅里叶变换处理的目标都是实信号)， 那么就有等式:

\[ f(t) = \overline {f(t)} \]

即是说，f(t)没有虚部。而又因为：

\[ f(t) = \sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} \]

\[ \sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} = \overline {\sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt}} = \sum_{k=-n}^{n}\overline {c_{k}}\overline {e^{2\pi ikt}} = \sum_{k=-n}^{n}\overline {c_{k}}e^{-2\pi ikt} \]

然后，要注意一个事实是：这个级数是从-n到n的累加，根据加法交换律，这个级数也可以变成从n到-n的累加，也即:

\[ \sum_{k=-n}^{n} = \sum_{k=n}^{-n} \]

于是，把傅里叶级数的k变成-k，就有:

\[ \sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} = \sum_{-k=-n}^{n}c_{-k}e^{-2\pi ikt} = \sum_{k=n}^{-n}c_{-k}e^{-2\pi ikt} = \sum_{k=-n}^{n}c_{-k}e^{-2\pi ikt} \]

再对比上面的推导，就会发现：

\[ c_{-k} = \overline {c_{k}} \]

先记住这个性质，然后继续往下看。

设有复数z，它必然会满足一个性质：

\[ z + \overline {z} = 2Re\{ z \} \]

Re{···}代表取出花括号的复数表达式的实部。

对于傅里叶级数，也可以把它当成一个复数，再利用刚刚推导出来的\(c_{-k} = \overline {c_{k}} \)，就有：

\[ c_{k}e^{2\pi ikt} + c_{-k}e^{2\pi i(-k)t} = c_{k}e^{2\pi ikt} + c_{-k}e^{-2\pi ikt}\] \[ = c_{k}e^{2\pi ikt} + \overline {c_{k}}e^{\overline {2\pi ikt}} \] \[ = c_{k}e^{2\pi ikt} + \overline {c_{k}e^{2\pi ikt}} \] \[ = 2Re\{ c_{k}e^{2\pi ikt} \} \]

这个结果表明，\(c_{k}e^{2\pi ikt} + c_{-k}e^{2\pi i(-k)t} \)是一个实数。把这个结论代入到傅里叶级数，就可以得到：

\[ f(t) = \sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} \] \[ = \sum_{k=0}^{n}2Re\{ c_{k}e^{2\pi ikt} \} \] \[ = 2Re\{ \sum_{k=0}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} \} \]

注意，这个式子是把0和-0都算进去的。如果不允许signed zero，就要对k=0的情况特殊处理。

求解\(c_{k}\)的积分形式

回到前面的那个傅里叶级数f(t)：

\[ f(t) = \sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} \]

其实是这样子搞出来的： 先假设傅里叶的常用形式2可以变换成这个等式，然后求\(c_{k}\)，求得出来的话，式子不就成立了嘛。

为了搞定这个事情，要使用新的招数：积分。

( 在教授的notes(https://see.stanford.edu/materials/lsoftaee261/book-fall-07.pdf]的第10-12页第1.5小节Lost at c，清楚地推导了一遍\(c_{k}\)。 )

这里我按自己对原文的理解，翻译下。

我们先随便取了一个k(k在-n到n之间)，然后，对上面的傅里叶级数等式两边同时乘以\( e^{-2\pi ikt } \)：

\[ e^{-2\pi ikt }f(t) = e^{-2\pi ikt }\sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} \]

把右边的式子展开，得到:

\[ e^{-2\pi ikt }f(t) = \cdots + e^{-2\pi ikt }c_{k}e^{2\pi ikt} + \cdots \] \[ = \cdots + c_{k}e^{-2\pi ikt}e^{2\pi ikt } + \cdots \] \[ = \cdots + c_{k}e^{-2\pi ikt + 2\pi ikt } + \cdots \] \[ = \cdots + c_{k} + \cdots \]

这时候，可以把\(c_{k}\)移到等式左边，左边的那个东东移到右边，就得到了一个\(c_{k}\)的表达式:

\[ c_{k} = e^{-2\pi ikt }f(t) - \sum_{k'=-n\,k'\neq k}^{n}c_{k'}e^{2\pi ik't}e^{-2\pi ikt } \] \[ e^{-2\pi ikt }f(t) - \sum_{k'=-n\,k'\neq k}^{n}c_{k'}e^{2\pi i(k'-k)t} \]

然后再放大招：对等式两边同时积分，范围是0到1（f(t)的t的周期为1）。

积分的时候，会发现有这么个神奇的等式:

\[ \int _{0}^{1}e^{2\pi i(k'-k)t}dt = \left [ \frac {2\pi i(k'-k)}{1}e^{2\pi i(k'-k)t}\right ]_{0}^{1} \] \[ = \frac {2\pi i(k'-k)}{1}(e^{2\pi i(k'-k)} - e^{0})\] \[ = \frac {2\pi i(k'-k)}{1}(1-1) = 0\]

最后那个1-1=0的前面那个1，其实用上欧拉公式就懂了，\( 2\pi i(k'-k) \)，代表\(\phi =2\pi (k'-k)\) ,又因为k'-k必然是整数，所以\(\phi \)代表了复数平面的坐标(1,0)，所以整个式子就等于1。

于是，积分等式就只剩下：

\[ \int _{0}^{1}c_{k}dt = \int _{0}^{{1}e^{-2\pi} ikt }f(t)dt \]

\[ (1-0)c_{k} = c_{k} = \int _{0}^{{1}e^{-2\pi} ikt }f(t)dt \]

这就是\(c_{k}\)的积分形式。

做一个小结：

如果对于一个已知的周期为1的周期函数f(t)，它可以写成这样的形式：

\[ f(t) = \sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt} \]

那么其中的\(c_{k}\)必然满足：

\[ c_{k} = \int _{0}^{{1}e^{-2\pi} ikt }f(t)dt \]

求解\(c_{k}\)的非积分形式

回到傅里叶级数的常用形式2:

\[ f(t) = \frac {A_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_{k}\sin 2\pi kt + b_{k}\cos 2\pi kt) \]

代入下面这2个式子:

\[ \cos 2\pi kt = \frac {e^{i2\pi kt} + e^{-i2\pi kt}}{2} \]

\[ \sin 2\pi kt = \frac {e^{i2\pi kt} - e^{-i2\pi kt}}{2i} \]

得:

\[ f(t) = \frac {A_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_{k}\frac {e^{i2\pi kt} - e^{-i2\pi kt}}{2i} + b_{k}\frac {e^{i2\pi kt} + e^{-i2\pi kt}}{2}) \] \[ = \frac {A_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{n}(\frac {b_{k} - ia_{k}}{2}e^{i2\pi kt} + \frac {b_{k} + ia_{k}}{2}e^{-i2\pi kt}) \]

设:

\[ c_{0} = \frac {1}{2}A_{0} \] \[ c_{k} = \frac {1}{2}(b_{k} - ia_{k}) \] \[ c_{-k} = \overline {c_{k}} = \frac {1}{2}(b_{k} + ia_{k}) \]

（注意，第三个式子是利用了前面的结论 ）

则:

\[ f(t) = c_{0} + \sum_{k=1}^{n}(c_{k}e^{i2\pi kt} + c_{-k}e^{-i2\pi kt}) \] \[ = c_{0} + \sum_{k=1}^{n}c_{k}e^{i2\pi kt} + \sum_{k=1}^{n}c_{-k}e^{-i2\pi kt} \] \[ = c_{0} + \sum_{k=1}^{n}c_{k}e^{i2\pi kt} + \sum_{k=-1}^{-n}c_{k}e^{i2\pi kt} \] \[ = c_{0} + \sum_{k=-n,k\neq 0}^{n}c_{k}e^{i2\pi kt} \]

和那个常用形式3非常接近了，只需要把\(c_{0}\)也合并到级数里即可。但，这需要有一个前提：\( c_{0} = \frac {1}{2}A_{0} \)和k=0时的f(t)的\( c_{0} \)相等，而这是不一定的。

傅里叶级数是很不错的东西，但是实际应用时，要考虑很多细节，不是随便用就可以的。

大跃进，终极的傅里叶级数的复指数形式

终极的傅里叶级数的复指数形式是(fourier series exponential form )：

\[ f(t) = \sum_{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{2\pi ikt} \]

前面的傅里叶级数是finite的，这个是infinite的。

其中的\(c_{k}\)有一个专门的notation：\( \hat {f}(t) \)，代入后得到：

\[ \hat {f}(t) = \int _{ -\frac {1}{2} }^{\frac {1}{2} }f(t)e^{-2\pi ikt}dt \]

\[ f(t) = \sum_{k=-\infty }^{\infty }\hat {f}(t)e^{2\pi ikt} \]

傅里叶变换 fourier transform

(以下内容摘选自《复变函数与积分变换(华东理工大学出版社)》，有删改)

傅里叶积分定理 fourier integrate

若函数f(t)在\(-\infty ,+\infty \)上的任一有限区间内满足Dirichlet条件，并且在\( (-\infty ,+\infty) \)上绝对可积（即积分\( \int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt\)收敛)，则有： \[ \frac {1}{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }\left [ \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt\right ]e^{i\omega t}d\omega = \begin {cases} f(t), 当t为f(t)的连续点; \\ \frac {f(t+0)+f(t-0)}{2},当t为f(t)的间断点。 \end {cases} \]

令:

\[ F(\omega ) = \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt \]

则:

\[ f(t) = \frac {1}{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega \]

上两式子表明\( F(\omega ) 和 f(t) \)通过指定的积分运算可以相互表示。

第一个式子称为f(t)的傅里叶变换，记为:

\[ F(\omega ) = \mathcal {F}[f(t)] \]

函数为\(F(\omega ) \)称为f(t)的像函数。

第二个式子称为\(F(\omega ) \)的逆傅里叶变换，记为:

\[ f(t) = \mathcal {F}^{-1}[ F(\omega ) ] \]

函数f(t)称为为\(F(\omega ) \)的像原函数。

傅里叶变换的性质

线性性质

设：

• \( \mathcal {F}[f_{1}(t)] = F_{1}(\omega )\)
• \( \mathcal {F}[f_{2}(t)] = F_{2}(\omega )\)
• \( \alpha \beta \)为常数

则:

\[ \mathcal {F}[\alpha f_{1}(t) + \beta f_{2}(t)] = \alpha F_{1}(\omega ) + \beta F_{2}(\omega ) \]

\[ \mathcal {F}^{-1}[\alpha F_{1}(\omega ) + \beta F_{2}(\omega )] = \alpha f_{1}(t) + \beta f_{2}(t) \]

位移性质

设\( \mathcal {F}[f(t)] = F(\omega )\)，\( f(t) = \mathcal {F}^{-1}[ F(\omega ) ] \)，则:

\[ \mathcal {F}[f(t\pm t_{0})] = e^{\pm i\omega t_{0}}F(\omega )\]

\[ \mathcal {F}^{-1}[F(\omega )\mp F_{0}(\omega )] = e^{\pm i\omega _{0}t}f(t) \]

其中\( t_{0},\omega _{0} \)为常数。

微分性质

若f(t)在\( (-\infty ,+\infty) \)内连续或只有有限个可去间断点，且：

\[ \lim _{|t|\to +\infty }f(t) = 0 \]

\[ \mathcal {F}[f(t)] = F(\omega )\]

则：

\[ \mathcal {F}[f'(t)] = i\omega F(\omega )\]

像函数的微分性质

设\( \mathcal {F}[f(t)] = F(\omega )\)，则:

\[ \frac {d}{d\omega }F(\omega ) = -i\mathcal {F}[tf(t)] \]

积分性质

设\( g(t) = \int _{-\infty }^{t}f(t)dt\)，若：

\[ \lim _{t\to +\infty }g(t) = 0 \]

则:

\[ \mathcal {F}[g(t)]=\frac {1}{i\omega }\mathcal {F}[f(t)] \]

对称性质

若\( F(\omega ) = \mathcal {F}[f(t)] \)，则：

\[ \mathcal {F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega ) \]

相似性质

设\( F(\omega ) = \mathcal {F}[f(t)] \)，a为非零常数，则：

\[ \mathcal {F}[f(at)] = \frac {1}{|a|}F(\frac {\omega }{a}) \]

离散傅里叶变换 discrete fourier transform

wiki:Digital Signal Processing/Discrete Fourier Transform。

设在时域上有离散的采样点\( f = (f[0],f[1],\cdots ,f[N-1]) \)，对f做离散傅里叶变换(DFT)，可以得到频域上的离散点\( F = (F[0],F[1],\cdots ,F[N-1]) \)，且：

\[ F[m] = \sum_{n=0}^{N-1}f[n]e^{-2\pi imn/N}, m = 0,1,\dots ,N-1 \]

这个就是DFT的标准公式。

解释一下:

• f(t)是原信号(时域)，\( f(n_{0}) \) 到 \( f(n_{N - 1}) \)是所谓的采样点，也就是说f(t)被离散成了这些点；
• F(w)是转换后的频域信号，\( F(m_{0}) \) 到 \( F(m_{N - 1} )\)是频域里均匀分布的N个点；
• 那么上面的公式就是指，对于每个m值，都求出这n个采样点f(n)的傅里叶级数，这个级数就是F(m)

要推导出这个这个公式并不容易，其中还要用到卷积的知识。

先大概地讲一遍：

给信号函数f(t)设定一个有限的时间范围L：\( 0\leq t\leq L \)；给f(t)的傅里叶转换F(w)设定一个有限的频率范围2B：\( 0\leq w\leq 2B \)。

这里为什么是2B呢？这需要先认识一下采样定理Nyquist–Shannon sampling theorem。

香农指出，如果一个信号函数f(t)的频率不高于B赫兹，那么用时间间隔\( \frac {1}{2B} \)秒去采样f(t)而得到的f(t')，相当于f(t)。

简单来说，如果要完美地采样一个函数f(t)，采样间隔必须小于或等于\( \frac {1}{2B} \)秒（大于或等于2B赫兹），B是这个f(t)的频域的最大赫兹。

继续推导。

既然时域的范围是L，完美的采样频率是2B，那么理论上要采样的点共有这么多个：

\[ N = \frac {L}{1/2B} = 2BL \]

时域的采样点横坐标列表如下：

\[ t_{0} = 0, t_{1} = \frac {1}{2B}, t_{2} = \frac {2}{2B}, \cdots , t_{N-1} = \frac {N-1}{2B} \]

所以，f(t)的离散版本\( f_{discrete}(t) \)就是这个采样点列表\( f(t_{0}), f(t_{1}),\cdots , f(t_{N-1}) \)。

接下来轮到卷积Convolution和狄拉克梳状函数Dirac comb登场。

(关于卷积和狄拉克梳状函数，请阅读我的其他文章理解卷积，狄拉克梳状函数 )。

继续讨论。因为上面得到的\( f_{discrete}(t) \)是不连续的，所以不能直接用傅里叶变换把它转换用到频域（标准傅里叶变换是处理连续函数的）。要把不连续信号转成连续信号，就是用卷积，即把离散信号和连续信号‘合并’。

狄拉克梳状函数：

\[ III_{T}(t) = \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t - kT)\]

代入我们的离散横坐标\( (t_{0}, t_{1}, \cdots , t_{N-1} \)，则有：

\[ III_{T=\frac {1}{2B}}(t) = \sum _{n=0 }^{N-1 }\delta (t - t_{n})\]

定义一个\( f_{discrete}(t) \)，代表f(t)离散化后和shah函数合并:

\[ f_{discrete}(t) = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})\delta (t - t_{n}) \]

这个式子是连续的(因为t的取值是连续的)。这个式子也叫做f(t)的采样形式(the sampled form of f(t))。它的傅里叶变换是:

\[ \mathcal {F}[f_{discrete}(s)] = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})\mathcal {F}[\delta (t - t_{n})] = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi ist_{n} } \]

注意，这个傅里叶变换也是连续的。

上面是时域到频域的讨论，接下来换个角度：想一下如何在频域中对连续的频域信号做采样，并转换到时域。也即离散的逆傅里叶变换。

在频域中做采样，那么就是做离散化，频率间隔应该是多少(赫兹)？频率公式是\(f = \frac {1}{T} \)，f的单位是赫兹，赫兹是指1秒内震动次数，震动次数要看信号的周期T。如果把t的范围L当做周期的话，1除以L就是指\( \frac {1}{L} \)赫兹，注意，这是频率的下限，频率的上限是前面已经给出的2B，而我们要做的是在频率这条横轴上做采样，即从频率=0(赫兹)开始，间隔=1/L(赫兹)，到频率=2B(赫兹)结束，对F(s)进行采样。

总共的频域采样点有这么多个:

\[ \frac {2B}{\frac {1}{L}} = 2BL = N \]

对比上面的时域采样，频域采样也有同样数目的采样点**。

频域的采样点横坐标列表如下：

\[ s_{0} = 0, s_{1} = \frac {1}{L}, s_{2} = \frac {2}{L}, \cdots , s_{N-1} = \frac {N-1}{L} \]

有了采样点，就可以做采样了。但是是对什么东西做采样？结果有点反直觉，我们是对刚才推导出来的\( \mathcal {F}[f_{discrete}(s)] \)做采样，而不是\( \mathcal {F}[f(s)] \)。

设\( F(s) \mathcal {F}[f_{discrete}(s)] \)，则F(s)的离散版本是:

\[ F(s_{0}) = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi is_{0}t_{n} }, F(s_{1}) = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi is_{1}t_{n} }, \cdots ,F(s_{N-1}) = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi is_{N-1}t_{n} } \]

将这串东西再简化下:

\[ F(s_{m}) = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi is_{m}t_{n} } \]

于是我们有了一道从离散f(t)到离散F(s)的公式！

好像和前面给出的标准形式不一样？没事，还可以再变一变。

由:

\[ t_{n} = \frac {n}{2B} \] \[ s_{m} = \frac {m}{L} \]

有:

\[ F(s_{m}) = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi is_{m}t_{n} } \] \[ = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi i\frac {m}{L}\frac {n}{2B} } \] \[ = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi imn/2BL } \] \[ = \sum _{n=0 }^{N-1 }f(t_{n})e^{-2\pi imn/N } \]

傅里叶变换的应用

(如果理解了上面的DFT，基本不需要看这一节)

采样和重建 Sampling and Reconstruction

采样和重建这两个字花了我不少功夫去理解。其实并不复杂，举一个例子吧。

假设现在有一个你不太喜欢的信号函数f(t)，可以想象成一个充满毛刺的、扭曲的正弦波形曲线(理论上不必须是波形)。你觉得它太丑了，想给它整容，变成你喜欢的模样。那么，就可以这样子做：

• 采样

在横轴上挑选一些你觉得不错的坐标t，代入f(t)，这样就得到了一个坐标集合\( (t_{i},f(t_{i}))(i=[0,n]) \)。 这个过程叫做采样，这些坐标对样本，对应的t坐标叫做采样点。

• 重建

经过采样后，原来的连续的f(t)变成了离散的\( f(t_{i})(i=[0,n]) \)(continuous to descrete)。对于这个\(f(t_{i})\)，我们可以根据这些坐标，重新构建一条新的曲线，也就是说，整出一条新的曲线，使得这条新曲线会通过所有的采样坐标点。这个过程叫做重建。

重点来了:采样和重建是通过傅里叶变换完成的。这意味着什么？首先要记住，傅里叶变换，可以把时域的函数变成一个等价的频域的函数。我们还是按前面的做法，在时域上完成‘采样’工作，但是采样点要足够多，并且均匀。采样后，用傅里叶变换把\(f(t_{i})\)变成\(F(w_{i})\)，然后就可以在频域上完成真正的采样(或叫过滤)。 在频域上采样，往往比在时域上采样要简单得多，比如说，你只对中高频信号感兴趣，那么就可以只采样那些频率高的点。对F(w_{i})采样后，得到F'(w_{i})，再通过逆傅里叶变换，就可以得到一个新的f'(t)。整容完毕。

哦，还有一个细节要注意，这个采样和重建用的傅里叶变换是离散傅里叶变换。

(未经授权禁止转载)