DH算法
key exchange例子（ from here )：
- Alice和Bob首先线下商量好，使用p (prime, 质数) = 23、g (generator, 生成器) = 5作为通讯基础（p和g不需要绝对的保密，泄露了也没事）
- 每次Alice和Bob想要建立通讯(连接)时，Alice自己随机生成一个在范围[1, p - 1]的数：a = 6
- 同样，Bob自己也随机一个：b = 15
- Alice计算： \( A = g^{a} \% p = 5^{6} \% 23 = 15625 \% 23 = 8 \)，把A发给Bob
- Bob计算： \( B = g^{b} \% p = 5^{15} \% 23 = 30517578125 \% 23 = 19 \)，把B发给Alice
- Alice收到B后，可计算出对称密钥：\( s_{Alice} = B^{a} \% p = 19^{6} \% 23 = 47045881 \% 23 = 2 \)
- Bob收到A后，可计算出对称密钥：\( s_{Bob} = A^{b} \% p = 8^{15} \% 23 = 35184372088832 \% 23 = 2 \)
数学原理
其中，用到了模幂运算的基本定理，对于任意自然数a、b、n，有：
\[ ab\ \%\ n = ( ab\ \%\ n) \ \%\ n = ( (a\ \%\ n) (b\ \%\ n) ) \ \%\ n \]
应用到幂运算：
\[ a^{b}\ \%\ n = ( a \cdots a ) \ \%\ n = ( (a\ \%\ n) \cdots (a\ \%\ n) ) \ \%\ n = ( \ (a\ \%\ n) ^{b}\ ) \ \%\ n \]
\[ a^{b}\ \%\ n = ( a^{b}\ \%\ n) \ \%\ n \]
观察这2个式子最右边，发现b的位置是可以移动的：
\[ ( \ (a\ \%\ n) ^{b}\ ) \ \%\ n = ( a^{b}\ \%\ n) \ \%\ n \]
套进上一节的例子里的推导公式，得到：
\[ s_{Alice} = B^{a} \% p = (\ (\ g^{b} \% p\ ) ^{a}\ ) \% p = ( \ g^{ab} \% p\ \ ) \% p = \ g ^{ab} \% p \]
同理：
\[ s_{Bob} = A^{b} \% p = (\ (\ g^{a} \% p\ ) ^{b}\ ) \% p = ( \ g^{ab} \% p\ \ ) \% p = \ g ^{ab} \% p \]
显然有：
\[ s_{Alice} = s_{Bob} \]
这样就协商出了对称的密钥，密钥实质等于：
\[ g ^{ab} \% p \]
其中，g、p可公开、a、b保密。
为什么可行
从攻击者角度看，攻击者最多只能获得以下信息：
- p：23
- g：5
- A：8
- B：19
攻击者目标是获得s（serect）。要计算s，就是算2条式子：
\[ s = ( B^{a} ) \% p \]
\[ s = ( A^{b} ) \% p \]
显然，攻击者只需要破解出a或b，就能得到s。
又因为有：
\[ A = ( g^{a} ) \% p \]
\[ B = ( g^{b} ) \% p \]
所以破解a或b的方法是：
\[ a = log_{g}^{A} \% p \]
\[ b = log_{g}^{B} \% p \]
这看似很简单的算术（对数运算和取模运算），其实是很难算的。目前为止没有找到一个快速计算离散对数的算法。
关键在于p这个素数要足够大，那么以现在的计算机计算速度，就很难通过A（或B）、g、p这3个参数算出a，这被称为离散对数难题。
这里需要注意，难的是离散对数，即有log和mod运算并且参数是整数；若单单只有log运算，是不难的。
p、g的选取问题
涉及到了一些数论的概念：
首先明确下：
- p必须是素数，且必须是大数(1024-2048bits)，算法才安全
- g不需要是素数，且不需要很大
p、g不需要自己挑选，可以直接用rfc5114给定的值。
例如1024-bit MODP Group with 160-bit Prime Order Subgroup:
再讲下去就是深入密码学、数论了，按住不表。
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